行测备考：不定方程问题解题技巧

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 方程法是解决数量关系问题最常用的方法之一，考生在做题过程中经常通过题目中的已知条件来设未知数建立等量关系，从而求解得出答案。我们在解题过程中通常所设的方程式就是普通方程，比如5x+3=23，这个方程就是未知数个数等于方程个数，为普通方程。但在我们研究试题的过程中，发现除了我们常见的普通方程外，还有一类方程叫做不定方程。不定方程是指未知数的个数大于独立方程的个数，比如2x+3y=28，这个方程中有两个未知数却只有一个方程，这样的方程我们如何来求解呢?下面就跟着展鸿君一起来学习在解决不定方程时所用到的技巧吧。

例1.办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为(    )个?

A.1、6    B.2、4    C.4、1    D.3、2

【答案】D。解析：这道题目中其实描述的就是用红蓝两种文件袋去装29份文件，最终让我们求解分别需要红蓝文件袋多少个这样的一个问题。首先，我们依旧是来建立等量关系。这道题目中总的这29份文件就应该等于红色文件袋装的总数加上蓝色文件袋装的总数。那每个红色文件袋可以装7份文件，总共有几个红色文件袋呢?我们不知道，不妨设一个x，这正好也是我们所求的量，7x即红色文件袋所装的总数，同理蓝色文件袋数量设为y，则所装的总数我们可以表示为4y，列出来的方程则为7x+4y=29，很明显这是一个不定方程，同时这里的x、y表示的都是文件袋的数目，一定为正整数，这就是我们不定方程第一类题目，在正整数范围内求解。这个方程我们最直观能看到的是各项的奇偶性，29为奇数，而4y一定为偶数，所以剩下的7x一定为奇数，7又是一个奇数，那么x也一定为奇数，这时候我们就可以排除掉选项B和C。剩下的A、D我们可以代入一下，先代入A来尝试，x=1，y=6,得出的结果为31，很明显是不正确的，A项也排除。故本题选D。

这种方法是我们在正整数范围内求解不定方程时常用的一种代入排除的技巧，通过判断未知数的奇偶性先排除一些选项，将剩下的选项代入即可很快求出答案。

例2.木匠加工2张桌子和4张凳子共需要十个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子、椅子各10张，共需多少小时?

A.47.5    B.50    C.52.5    D.55

【答案】C。解析：这道题目描述的其实就是一个木匠加工桌椅凳子的一个问题。给了我们两个已知条件，最终要求我们求桌椅凳子各加工十张需要多长时间。同样的，我们还是先找出题目中的等量关系。首先第一个，加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，可是我们不知道加工每张桌子和凳子所需的时间，我们不妨设一下，加工一张桌子需要x小时，一张凳子需要y小时，所列出来的方程则应该是2x+4y=10，同理我们可以设加工一张椅子需要z小时，那第二个等量关系就应该是4x+8z=22，最终我们得到了这样的两个方程，可是却有三个未知数，明显还是一个不定方程，但区别于上一道题目，这道题目中的x、y、z代表的是小时，不一定是正整数，也就是在任意数范围内求解。最终让我们求的也是10(x+y+z)，对于这样的题目，因为是单选题，所以x+y+z必然是一个定值，也就是无论x、y、z如何变化，只要符合这两个方程，最终x+y+z就是一定的。那我们不妨令其中某一个未知数为零来进行求解。令哪个未知数为零呢?一定是哪个未知数的系数大我们令它为零，这样我们就会得到一个相对好算一些的二元一次方程。在这道题目中可以令两个方程中都有的未知数x=0，直接可以求得y=2.5，z=2.75，x+y+z=5.25，我们所要求的10(x+y+z)=52.5。故本题选C。

这种方法是我们在任意数范围内求解时常用的一种方法，特值法，将其中系数较大的未知数设为零，方便求解。

现在我们来总结一下，在正整数范围内求解不定方程的时候，可以利用奇偶性排除若干选项后代入来进行求解，在任意数范围内求解不定方程时可以利用特值法。通过对这两道题目的学习，相信大家一定会对不定方程知识有更好的掌握，最后希望大家认真复习，取得好成绩。