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余数问题在行测考试中考查频率都非常高,而且以不同的形式考查,比如说对余数基本定义的考查,以及同余数特性题型的考查。掌握好解余数问题的一些技巧,对考生来说至关重要。展鸿教育专家今天主要来说说剩余定理的解题方法。剩余定理有着千年的文化历史,早在春秋时期就出现过,是我国悠久历史的象征,剩余定理是一个大的数学体系,而今天主要是学习现有的公职类考试中常见题型的考查形式,以及解题方法。
一、什么是剩余定理:
剩余定理最早出现在《孙子算经》中,又名物不知数问题。今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,后经宋朝人传入西方,引起西方广大关注,以至于后来该问题的一般解法国际上称为“剩余定理”。
二、剩余定理的通用形式:
M除以A得到余数a;
M除以B得到余数b;
M除以C得到余数c;
求M为多少?
三、剩余定理的解法:
1.余同加余:
M÷3=N……1
M÷4=N……1
当M除以不同的除数得到的余数相同时,此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加余数。上例中:M=12N+1
2.和同加和:
M÷3=N……2
M÷4=N……1
当M除以不同的除数得到的余数与除数的加和相同时,此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加上余数与除数的相应的和。上例中:M=12N+5
3.差同减差:
M÷3=N……1
M÷4=N……2
当M除以不同的除数得到的余数与除数的差值相同时,此时M的值为除数的最小公倍数的倍数减去除数与余数的差。上例中:M=12N-2
4.逐步满足法:
根据条件从除数最小的式子用数逐步满足题目要求,试探的找出答案。
5.带入排除法:
将答案依次带到题目中,判断哪个选项符合要求。
四、例题精讲
【例1】一个小于200数,它除以11余8,除以13余10,那么这个数是多少?( )
A.118 B.140 C.153 D.162
【展鸿解析】B。根据题意同一数除以不同除数,但除数和余数的差相同,都为3,属于差同减差,所以这个数为143N-3。同时这个数小于200,N只能为1,所以这个数是143-3=140。故本题选B。
【例2】有个三位数的自然数P满足:除以7余2,除以6余2,除以5余2,则符合条件的自然数P有( )个。
A.2 B.3 C.4 D.5
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