行测备考：均值不等式解决行测极值问题

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所谓的均值不等式，大家可以直接掌握一句话：和定，差小，积大；积定，差小，和小。指的是当两个数和一定时，这两个数差越小，乘积就越大；而当两个数乘积一定时，这两个数差越小，和就越小。那均值不等式具体在做题中如何运用呢？

我们先来看下面的例题：

【例1】直角三角形两直角边和为12，则该直角三角形面积最大为？（    ）

A.10         B.18         C.20         D.36

【答案】B。解析：题目所求为三角形面积最大，而我们知道对于直角三角形而言，面积应该等于直角边乘积的一半，所以要求直角边乘积最大。设两直角边为a和b，两直角边和为12，即a+b=12，和一定。现求ab的最大值，即乘积最大值，此时想到和定差小，积大。所以当a与b差最小时，乘积最大。而a与b差要想最小，则a=b，此时两直角边均为6。则该三角形面积为6×6÷2=18。故本题选B。

接下来再来看下面的例题：

【例2】某市有一长方形广场，面积为2500平方米，则该广场周长至少为（    ）米？

A.160         B.200         C.250         D.320

【答案】B。解析：题目所求为周长至少为多少，即周长最小值，而长方形周长为长加宽的2倍，设长和宽分别为a和b，则周长为2（a+b）。要使周长最少，则a+b要最小，即求的是和的最小值，而已知面积为2500，即ab=2500，乘积一定。根据均值不等式积定，差小，和小。可知当差最小时，即a=b=50时，a+b的和为最小，此时周长为2×（a+b）=2×（50+50）=200。故本题选B。

上面两道题目都是直接利用均值不等式进行求解，而在我们实际做题中，经常还会遇到一些题目利用均值不等式时要先做一些转换。比如我们看下面的例题。

【例3】某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，则可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖1万株，问在最佳定价下，该公司最大收入为（    ）万元。

A.60         B.80         C.90         D.100

【答案】C。解析：要求公司收入最大，总收入=每株收入×数量，设单价提高x个0.4元，此时少卖x个1万株，则总收入=（4+0.4x）×（20-x），所以求的是乘积的最大值，此时想到均值不等式，和定差小，积大。但题目中两个式子此时和不是定值，首先构造和一定，则需要消掉未知数x，所以给第二个式子乘以0.4，可得总收入为[（4+0.4x）（8-0.4x）]÷0.4，求分子最大值，二分子两个式子和为12，和一定，则差越小，乘积越大。所以差最小时即两个式子相等，即4+0.4x=8-0.4x，解得x=5，此时总收入为6×15=90万元。故本题选C。